Всякая всячина
Настоящему индейцу надо только одного
Да и этого немного, да почти что ничего

Группа "Ноль"

Кушать подано!  

Метод наименьших квадратов

Краткая теория метода наименьших квадратов

Допустим, что некоторая теоретическая модель предполагает линейную зависимость одной из характеристик системы от других: y = Σi ki·xi (i – число независимых переменных). Задача заключается в следующем: при фиксируемых параметрах x и измеренных значениях y рассчитать вектор параметров k, удовлетворяющий некоторому критерию оптимальности.

В методе наименьших квадратов этим критерием является минимум суммы квадратов отклонений расчитанных значений y от наблюдаемых (экспериментальных): min Σi (ys,iyi)². Чтобы найти минимум функции, это выражение надо продифференцировать по параметрам и приравнять нулю (условие минимума). В результате поиск минимума суммы квадратов сводиться в простым операциям с матрицами (см. например МНК, Регрессионый анализ.

Если теоретическая модель представляет собой линейную зависимость от одного параметра (y = a + b·x), то решение выражается в виде простых формул, которые можно рассчитать даже на микрокалькуляторе:
Z = nΣxi² - (Σxi)²;
a = (ΣyiΣxi² – ΣyixiΣxi) / Z;     Sa² = Sy² Σxi² / Z;
b = (nΣyixiΣyiΣxi) / Z;     Sb² = Sy² n / Z;
Sy² = Σ(ys,iyi)² / (n – 2) (ys,i – рассчитанное значение, yi – эксперементально измеренное значение)

При расчете погрешностей предполагается, что точность плана экспримента (значений x) значительно превосходит точность измеряемых значений y, погрешность измерения которых подчиняется нормальному распределению.

Программа расчета такой линейной модели приведена ниже.

Для расчета параметров линейной зависимости y = a + b·x методом наименьших квадратов введите в соответствующие колонки значения параметра и наблюдаемые значения.

№ точки X Y W Yрасч Sx Операция
1   
2   
3   

Спонсор раздела — сайт "Расчет равновесий в аналитической химии"

© 2010 — 2014, sinisha.ru